Метод наименьших квадратов (МНК)¶

Метод наименьших квадратов используется для аппроксимации данных — поиска такой прямой (линейной зависимости), которая наилучшим образом описывает набор точек, минимизируя сумму квадратов отклонений.

Математическая основа¶

Цель — минимизировать функцию ошибки (сумму квадратов разностей между фактическим значением $y_i$ и расчетным значением на прямой $ax_i + b$):

\[F(a, b) = \sum_{i=1}^n(y_i - (ax_i + b))^2\]

Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ решается система нормальных уравнений: 1. $a\sum x_i^2 + b\sum x_i = \sum x_iy_i$ 2. $a\sum x_i + nb = \sum y_i$

Формулы для расчетов¶

Коэффициенты можно вычислить напрямую:

Коэффициент наклона $a$: $$a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$
Свободный член $b$: $$b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} \quad \text{или} \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$$

Пошаговый процесс реализации¶

Сбор данных: Составить таблицу с экспериментальными значениями $x_i$ и $y_i$.
Вычисления: Для каждой строки вычислить значения $x_iy_i$ и $x_i^2$.
Суммирование: Найти общие суммы всех четырех столбцов ($\sum x, \sum y, \sum x^2, \sum xy$).
Подстановка: Подставить суммы в формулы для нахождения $a$ и $b$.
Результат: Составить уравнение аппроксимирующей прямой $y = ax + b$.

Валидация¶

Для оценки качества аппроксимации рассчитывается сумма квадратов отклонений $\sigma$. Чем меньше это значение, тем точнее линия описывает данные.

Источник: Zaochnik